01背包与完全背包问题详解

1. 背包问题

动态规划中的背包问题主要分为01背包和完全背包两种经典模型：

01背包	完全背包
每个物品只能选0次或1次	每个物品可以无限次选取

2. 01背包

问题描述

给定$N$件物品和容量为$V$的背包,

物品$i$的重量为$W_{i}$，价值为$V_{i}$

求不超过背包容量的最大价值总和

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动态规划方程

设$dp[i][j]$表示前$i$个物品=放入容量$j$背包的最大价值：

表达式为

$$ dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j], & j < w[i] \\ \max(dp[i-1][j],\ dp[i-1][j-w[i]] + v[i]), & j \geq w[i] \end{cases} $$

实现

1.二维数组版

int f[10000][10000],v[1919810],w[1919810],m,n;
void beibao(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>v[i];
        cin>>w[i];
        for(int j=0;j<=m;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            v[i]<=j ? f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]):f[i][j]=f[i][j];
            //在加上 v[i] 后小于等于总体积j 即v+v[i]<=j
        }
    }
}

如果82wa就是二维数组爆炸了

2.一维优化版

int f[1919810],v[1919810],w[1919810],m,n;
void beibao() {
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>v[i]>>w[i];
        for(int j=m;j>=v[i];j--) {
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
}

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3. 完全背包问题

P1616 疯狂的采药

题目背景

此题为纪念 LiYuxiang 而生。

题目描述

LiYuxiang 是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是 LiYuxiang，你能完成这个任务吗？

此题和原题的不同点：

$1$. 每种草药可以无限制地疯狂采摘。

$2$. 药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！

输入格式

输入第一行有两个整数，分别代表总共能够用来采药的时间 $t$ 和代表山洞里的草药的数目 $m$。

第 $2$ 到第 $(m + 1)$ 行，每行两个整数，第 $(i + 1)$ 行的整数 $a_i, b_i$ 分别表示采摘第 $i$ 种草药的时间和该草药的价值。

输出格式

输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

输入输出样例 #1

输入 #1

70 3
71 100
69 1
1 2

输出 #1

140

说明/提示

数据规模与约定

• 对于 $30\%$ 的数据，保证 $m \le 10^3$ 。
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1 \leq m \le 10^4$，$1 \leq t \leq 10^7$，且 $1 \leq m \times t \leq 10^7$，$1 \leq a_i, b_i \leq 10^4$。

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表达式为

$$ dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j], & j < w[i] \\ \max(dp[i-1][j],\ dp[i][j-w[i]] + v[i]), & j \geq w[i] \end{cases} $$

实现

void beibao() {
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>v[i]>>w[i];
        for(int j=v[i];j<=m;j++){
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
            maxn=max(f[j],maxn);
        }
    }

关键点：正序遍历允许重复选取

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4. 对比

	01背包	完全背包
物品选取规则	每个物品选0/1次	每个物品可无限选
遍历顺序	逆序（防止重复）	正序（允许重复）
状态转移	$dp[i-1][j-w]+v$	$dp[i][j-w]+v$

5. 复杂度

	二维数组	一维数组
时间复杂度	$O(NV)$	$O(NV)$
空间复杂度		$O(V)$