组合‌：从n个元素中取出m个元素，不考虑顺序，只关注元素的组合方式。例如，从A、B、C中取出两个元素，AB和BA被视为同一个组合。

‌排列‌：从n个元素中取出m个元素，考虑顺序。例如，AB和BA被视为不同的排列。

一、排列公式（$A_m^n$）

表示从 m 个不同元素中取出 n 个元素进行有序排列 的方法数。

公式：

$A_m^n = \frac{m!}{(m-n)!}$

说明：

m! 表示 m 的阶乘（即 $1 \times 2 \times \dots \times m$）

分母 $(m-n)!$表示排除未选元素的排列。

示例：
从 5 个元素中选 3 个排列：
$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60$

二、组合公式（$C_m^n$）

表示从 m 个不同元素中无序选取 n 个元素 的方法数。

公式：

$ C_m^n = \frac{m!}{n!(m-n)!} \quad \text{或} \quad \binom{m}{n} = \frac{m!}{n!(m-n)!} $

说明：

分子 $m!$ 计算全排列，分母 $n!$ 去除选取元素的顺序影响，$(m-n)!$排除未选元素。

化简

$C_{m}^{n}\begin{pmatrix}n<m\\\end{pmatrix}=C_{m}^{m-n}$

示例：

从 5 个元素中选 3 个组合：
$ C_5^3 = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = 10 $

三、$A_m^n$ 与 $C_m^n$ 的关系公式

排列($A_m^n$)可通过组合($C_m^n$)与顺序排列的乘积表示：

$A_m^n = C_m^n \times n!$

推导：

1. 先计算组合数 $C_m^n$（选择方法数）
2. 再对选出的 n 个元素进行全排列（$n!$ 种顺序）。