前面的

您想计算的是定积分 $\int_{0}^{a} -\sqrt{r^2 + x^2} \, dx$（其中$r$为常数，$a$为积分上限），以下是详细的计算过程：

一、核心公式：不定积分推导

首先计算不定积分 $I = \int \sqrt{r^2 + x^2} \, dx$（后续再添加负号和上下限），需使用分部积分法和积分公式：

分部积分法原理

设 $u = \sqrt{r^2 + x^2}$，$dv = dx$，则：

• $du = \frac{x}{\sqrt{r^2 + x^2}} dx$
• $v = x$

根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，代入得：

$$I = x\sqrt{r^2 + x^2} - \int \frac{x^2}{\sqrt{r^2 + x^2}} dx $$

化简积分项

对后一项积分变形（利用$x^2 = (r^2 + x^2) - r^2$）：

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{r^2 + x^2}} dx = \int \sqrt{r^2 + x^2} dx - r^2 \int \frac{1}{\sqrt{r^2 + x^2}} dx $$

代入并求解$I$

将上式代回$I$的表达式，移项整理：

$$I = x\sqrt{r^2 + x^2} - \left(I - r^2 \int \frac{1}{\sqrt{r^2 + x^2}} dx\right) $$$$2I = x\sqrt{r^2 + x^2} + r^2 \ln\left(x + \sqrt{r^2 + x^2}\right) + C $$

（注：$\int \frac{1}{\sqrt{r^2 + x^2}} dx = \ln\left(x + \sqrt{r^2 + x^2}\right) + C$ 是标准积分公式）

因此，不定积分结果为：

$$\int \sqrt{r^2 + x^2} dx = \frac{1}{2}x\sqrt{r^2 + x^2} + \frac{1}{2}r^2 \ln\left(x + \sqrt{r^2 + x^2}\right) + C $$

二、定积分计算（从0到$a$）

原积分带有负号，即：

$$\int_{0}^{a} -\sqrt{r^2 + x^2} dx = - \left[ \frac{1}{2}x\sqrt{r^2 + x^2} + \frac{1}{2}r^2 \ln\left(x + \sqrt{r^2 + x^2}\right) \right]_{0}^{a} $$

代入上下限

1. 代入上限$x=a$：

$$\frac{1}{2}a\sqrt{r^2 + a^2} + \frac{1}{2}r^2 \ln\left(a + \sqrt{r^2 + a^2}\right) $$

2. 代入下限$x=0$：

$$\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot \sqrt{r^2 + 0} + \frac{1}{2}r^2 \ln\left(0 + \sqrt{r^2 + 0}\right) = \frac{1}{2}r^2 \ln r $$

计算差值并加负号

$$\text{原式} = - \left[ \left( \frac{1}{2}a\sqrt{r^2 + a^2} + \frac{1}{2}r^2 \ln\left(a + \sqrt{r^2 + a^2}\right) \right) - \frac{1}{2}r^2 \ln r \right] $$

整理后得最终结果：

$$\boxed{ - \frac{1}{2}a\sqrt{r^2 + a^2} - \frac{1}{2}r^2 \ln\left( \frac{a + \sqrt{r^2 + a^2}}{r} \right) } $$