四边形不等式

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建议搭配石子合并-四边形不等式$O^2$ 题解使用

对于任意实数 $a, b, c, d$，如果 $a \leq b \leq c \leq d$，那么有以下不等式成立：

$$f(a, d) + f(b, c) \geq f(a, c) + f(b, d)$$

其中，$f(x, y)$ 是一个的函数（

为了便于理解 ，接下来我们假设 $f(x, y)$ 是一个简单的函数形式，比如 $f(x, y) = (x-y)^2$

ps：本证明运用大量完全平方公式来因式分解，完全平方公式不懂的可以回小奥重造了。。。

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证明

1. 展开表达式

左边：

$$f(a, d) + f(b, c) = (a-d)^2 + (b-c)^2$$

右边：

$$f(a, c) + f(b, d) = (a-c)^2 + (b-d)^2$$

所以

$$(a-d)^2 + (b-c)^2 \geq (a-c)^2 + (b-d)^2$$

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化简（简单因式分解）

注：完全平方公式表达为$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$ 和 $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

展开：

$$(a-d)^2 = a^2 - 2ad + d^2$$ $$(b-c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$$ $$(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$$ $$(b-d)^2 = b^2 - 2bd + d^2$$

分别相加：

左边：

$$(a-d)^2 + (b-c)^2 = a^2 - 2ad + d^2 + b^2 - 2bc + c^2 $$

右边：

$$(a-c)^2 + (b-d)^2 = a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bd + d^2 $$

消去公共项：

$$-2ad - 2bc \geq -2ac - 2bd$$

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化简and化简

重新整理：

$$2ad + 2bc \leq 2ac + 2bd$$

同时$\div 2$：

$$ad + bc \leq ac + bd$$

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验证

验证 $ad + bc \leq ac + bd$ 是否成立。

改写：

$$ad - ac \leq bd - bc$$

提取公因式：

$$a(d-c) \leq b(d-c)$$

3. 因为 $a \leq b$ 且 $d \geq c$

整理

回顾化简后的关键不等式 $ad + bc \leq ac + bd$，我们可以将其改写为：

$$(ad - ac) \leq (bd - bc)$$

提取公因式

$$a(d-c) \leq b(d-c)$$

因为

$$d \geq c$$

因为已知

$$a \leq b$$

且 $d-c$ 是非负数，所以不等式

$$a(d-c) \leq b(d-c)$$

成立。

总结

这一结论表明，对于给定的函数形式 $f(x, y)$，在条件 $a \leq b$ 和 $c \leq d$ 下，该不等关系始终满足。